Menos X Menos es Más

Hace unos días una alumna me preguntaba el por qué de la regla de «menor por menos es más», cuando ella entendía que cuando sumaba cantidades negativas el resultado debería ser una cantidad aún más negativa y que siendo el producto no más que la suma repetitiva de una misma cantidad, en este caso negativa, no veía la lógica de que se transformara en positivo.

Partiendo de esta situación inusual en clase (pocos se hacen esa pregunta, simplemente aprenden la regla y la aplican) mi empeño no sólo fue demostrarlo matemáticamente, si no ir un poco más allá y ver situaciones problemáticas de la vida real en la que esta regla se cumple. Ambas tareas son arduas cuando el público de tus explicaciones rondan los 11 años, pero el intento valió la pena.

Para empezar les enseñé una analogía, muy didáctica a la hora de recordar la regla, y que consiste en considerar el signo «menos» como un «enemigo» y el signo «más» como un «amigo». Según esto

• Los amigos de mis amigos son mis amigos «+ • + = +«
• Los amigos de mis enemigos son mis enemigos «+ • – = –«
• Los enemigos de mis amigos son mis enemigos «– • + = –«
• Y los enemigos de mis enemigos son mis amigos «– • – = +«

Explicación matemática:

Partimos de un ejemplo numérico para que los alumnos/as lo vean mejor.

• -1 es el inverso de 1, entonces, por definición se verifica que 1 + (-1) = 0
• Si multiplicamos ambos miembros de la igualdad por (-1) nos queda (-1) • [1 + (-1)] = (-1) • 0
• Como como multiplicar por «0» es «0» en el segundo miembro de la igualdad nos queda (-1) • [1 + (-1)] = 0
• Por la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma tenemos [(-1) • 1] + [(-1) • (-1)] = 0
• Al multiplicar por 1 el resultado no varía, por tanto al simplificar nos queda   (-1) + [(-1) • (-1)] = 0
• Si sumamos 1 a ambos lados de la ecuación, ésta no varía y quedaría 1 + (-1) + [(-1) • (-1)] = 1
• Como 1 + (-1) = 0 simplificamos en el primer miembro de la igualdad queda 0 + (-1) • (-1) = 1
• Por tanto  se demuestra que  (-1) • (-1) = 1

Aplicaciones a la vida real

Aunque situaciones como las que describen a continuación no son usuales, no por ello están exentas de lógica, y son entendibles por los alumnos/as.

Un ejemplo con dinero:

• Si te dan dos veces cinco euros tienes 10 euros «2 • 5 = 10«
• Si compras dos objetos a cinco euros cada uno(pierdes 5 euros, es decir tienes -5 euros cada vez), que es lo mismo que pagar 10 euros «2 • (-5) = -10«
• Que no te den tus padres cinco euros cada uno, es como que no te den 10 euros «-2 • 5 = -10«
• No comprar dos objetos a cinco euros cada uno, es como que te den 10 euros «-2 • (-5) = 10«

Para otro posible ejemplo de la vida real

• Nos imaginamos que vamos en coche por un camino a 20 kilómetros por hora, al cabo de 2 horas hemos recorrido «2 x 20 = 40 kilómetros hacia delante«.
• Ahora imaginemos que llevamos circulando un tiempo a la misma velocidad y queremos saber donde estábamos hace 2 horas «(-2) x 20 = -40 donde el signo negativo nos indica kilómetros hacia atrás«.
• Pero si en vez de ir hacia delante vamos a la misma velocidad pero marcha atrás. Al cabo de dos horas habremos recorrido: «2 x (-20) = -40 kilómetros hacia atrás«.
• Y por último si llevamos circulando un tiempo marcha atrás y queremos saber donde estábamos hace 2 horas (dónde empezamos) «-2 x (-20) = 40 kilómetros hacia delante«.

Para saber más lee el documento «La justificación de la regla de los signos en los libros de texto» de Bernardo Gómez