Clasificación de los Problemas Matemáticos III

pezCon este artículo cerramos el estudio de los tipos de problemas matematicos existentes en primaria según su estructura, centrándonos en los de tipo multiplicativo.

En este grupo diferenciamos entre los problemas de multiplicar y los de dividir.

A.- Problemas de multiplicar:

El tratamiento didáctico de los problemas con estructura multiplicativa, desde el punto de vista semántico, requiere un pequeño análisis previo de los elementos que vamos a tener en cuenta para su clasificación: el multiplicador, la distinción entre cantidades intensivas y extensivas, y las combinaciones entre los elementos que las componen.

A.1.- El Multiplicador:

Debemos conseguir que los alumnos/as entiendan al multiplicador como un número distinto a los que trabajó hasta ahora. Por tanto tendrá que descubrir su nuevas propiedades:

A.- Que se trate de una unidad flexible que hay que determinar en cada situación problemática.

A.1.- El multiplicador puede ser el  número que indica cuántas veces se repite una cantidad de la misma naturaleza. Ejemplo:

“Tengo tres bolsas de tomates con ocho tomates cada una. ¿Cuántos tomates tengo?”. Los tomates se repiten una determinada serie de veces, sin embargo el resultado sigue siendo tomates.

A.2.- El multiplicador también puede indicar una cantidad de diferente naturaleza a la representada por el multiplicando. Ejemplo:

“Tengo treinta kilos de tomates a dos euros cada kilo. ¿Cuánto cuestan los tomates?”. El resultado ya no son tomates sino euros, es decir, cambia el refe­rente.

B.- El multiplicador puede representar una proporción/razón que se establece entre dos cantidades. Ejemplo: “20 tomates por bolsa, Un ordenador por cada dos alumnos”. En este caso tampoco hay transformación del referente, ni existe una realidad física que represente dicha proporción, sino sólo una relación mental entre dichas canti­dades.

C.- En el producto cartesiano combinamos las cantidades del multiplicando y del multiplicador para obtener una tercera (producto) diferente.

D.- Que se trata de un mecanismo que permite economizar tiempo y esfuerzo sustituyendo varias su­mas por una sola operación. Cuando un niño utiliza la suma para resolver un problema de multiplicar es que no ha entendido el significado del multiplicador.

B.2.- Cantidades extensivas e intensivas:

Las cantidades extensivas son aquellas que tienen una extensión y pertenecen al mundo real (manzanas, mesas, dinero, etc.). Dichas cantidades pueden ser: continuas (longitud, peso, capacidad…) o discontinuas (naranjas, dinero, caramelos…).

Las cantidades intensivas son aquellas que se forman por combinación o razón de cantidades extensivas. Son razones o proporciones que establecemos, pero que no están físicamente en ninguna parte. Ejemplo “kilómetros por hora, la densidad, unidades de producto por envase,  densidad”.

Un caso especial de este tipo de cantidades intensivas son los escalares, o proporciones a escala que se establecen entre cantidades extensivas o intensivas.

Existen distintas combinación de cantidades extensivas para formar cantidades intensivas:

A.- Extensivas: discontinuas / discontinuas: “pasajeros por autobús”, “huevos por envase”…

B.- Extensivas: continuas / discontinuas: “Kilos de tomates por caja”.

C.- Extensivas: continuas / continuas: “km por hora, tiempo en recorrer una distancia.”

A.3.- Las Combinaciones (Producto Cartesiano)

La multiplicación es una operación que permite resolver las combinaciones que se pueden establecer entre los elementos de dos conjuntos. Por ejemplo, calcular cuántas parejas de baile se podrían formar con un conjunto de chicos y otro de chicas.

Las distintas combinaciones se construyen mentalmente, si bien algunas se pueden reproducir en la realidad y otras no.

B.- Problemas de Dividir:

A partir de una multiplicación dada (60 x  4 =  240), se originan dos posibles divisiones (240 : 60 = 4 y 240 : 4 = 60) en función de la cantidad que se tome por divisor. Ambas son conceptualmente iguales, pero una es una partición y la otra es un agrupamiento.

B.1.- División Partitiva:

La división de partición correspondería al siguiente problema: “Se reparten por igual 240 pasajeros entre 4 autobuses. ¿Cuántos pasajeros viajan en cada uno?.”

Sería aquella en la que el dividendo (pasajeros) y el divisor (autobuses) son de distinta naturaleza. Se hace una partición del conjunto de pasajeros porque se pregunta por la proporción o razón (60 pasajeros por autobús).

B.2.- División por Agrupamiento:

La división de agrupamiento correspondería al siguiente problema: “Se reparten por igual 240 pasajeros entre varios autobuses. Si cada autobús transporta 60 pasajeros, ¿cuántos autobuses se necesitan?”.

Sería aquella en la que el dividendo (pasajeros) y el divisor (pasajeros por autobús) son de la misma naturaleza. Se pregunta por el número de autobuses, es decir, una realidad concreta y no por una proporción.

B.3.- Categorías de los problemas de estructura multiplicativa:

Aclarados los conceptos anteriores, en el apartado siguiente presentamos las categorías semánticas de los problemas de estructura multiplicativa (problemas de multiplicar/dividir). Para la clasificación semántica de estos problemas nos fijaremos en el carácter y tipo de cantidades que se utilizan.

B.3.1.-  Categoría de MULTIPLICACIÓN – DIVISIÓN RAZÓN y sus tipos

Problemas en los que se establecen entre los datos y la solución una  función de proporcionalidad directa. Se trata de problemas que utilizan cantidades extensivas discontinuas (naranjas, dinero, caramelos…).

Es la categoría más sencilla al no plantear contradicciones entre su sentido y las operaciones con las que se resuelven. Dichas operaciones guardan un estrecho parentesco con las de sumar y restar, por lo que a veces los alumnos los resuelvan con estas últimas.

TIPO DE PROBLEMA

NIVEL

ACADÉMICO

EJEMPLOS

MULTIPLICACIÓN  RAZÓN 1

Dada una cantidad de determinada naturaleza (multiplicando) y el “número de veces” que se repite (multiplicador-Razón 1), se pregunta por la cantidad resultante (producto), que es de la misma naturaleza que el multiplicando.

Ciclo Iº-IIº

2º-3º E. Primaria

7 – 8 años

“Agustín lleva al contenedor ocho envases vacíos de vidrio, va cuatro veces en el día, y siempre que va lleva el mismo nº de envases. ¿Cuántos envases ha llevado en total durante el día?”

MULTIPLICACIÓN  RAZÓN 2

Dadas dos cantidades de la misma naturaleza (multiplicando y multiplicador), se pregunta por la cantidad resultante (producto) que es de la misma naturaleza.

Ciclo Iº-IIº

2º-3º E. Primaria

7 – 8 años

“Hay cuatro montones de manzanas, cada montón tiene treinta y dos manzanas. ¿Cuántas manzanas hay en total en los cuatro montones?”.

MULTIPLICACIÓN RAZÓN 3

Dada una cantidad de naturaleza “A” (multiplicando) y otra de naturaleza “B” (multiplicador- Razón3), se pregunta por la cantidad resultante (producto) de la misma naturaleza que el multiplicador.

Es un problema donde se establece una relación o proporción fija que se cumple en todos los casos comprendidos en el multiplicador.

Ciclo Iº-IIº

2º-3º E. Primaria

7 – 8 años

“Jaime compra cinco  cuentos. Cada cuento cuesta tres euros ¿Cuántos euros pagó?”.

DIVISIÓN PARTICIÓN / RAZÓN

Dada una cantidad de naturaleza “A” (dividendo) y otra de naturaleza “B” (divisor), se pregunta por la cantidad resultante (cociente) de la misma naturaleza que el dividendo.

Ciclo Iº-IIº

2º-3º E. Primaria

7 – 8 años

“Una colección consta de noventa y seis cromos. Su álbum tiene doce páginas. En todas ellas se pega el mismo nº de cromos. ¿Cuántos cromos se pegan en cada página?”.

DIVISIÓN POR AGRUPAMIENTO RAZÓN

Dadas dos cantidades de la misma naturaleza (dividendo y divisor), se pregunta por la cantidad resultante (cociente) de distinta naturaleza que las anteriores.

Ciclo IIº

3º E. Primaria

8 años.

“Una colección consta de 96 cromos. Si en cada página del álbum pegamos 8 cromos. ¿Cuántas páginas tendrá el álbum?”.

B.3.2. – Categoría de MULTIPLICACIÓN – DIVISIÓN  ESCALARES

Las cantidades escalares, como hemos indicado, son un caso especial de cantidades intensivas, donde se establece una proporciones a escala entre las cantidades extensivas o intensivas. Sus tipos pueden ser:

1.- Comparación: Utilizan los términos “veces más”, “veces menos”,  “doble”, “triple”, etc.

El lenguaje en que se expresa el problema, al igual que ocurre en los problemas de estructura aditiva,  puede dar lugar a interpretaciones erróneas por los niños, al tener un sentido distinto con el que se presentan las operaciones que lo resuelven. En estos casos hablaremos nuevamente de problemas inconsistentes. Ejemplo:

“Cuando en el enunciado de un problemas se expresa “3 veces más” puede ser interpretada como adición y en el caso de “3 veces menos” como resta.”

En los problemas de comparación, el carácter del texto que envuelve al problema es de tipo estático, que implica la ausencia de acciones. Ello hace que sólo intervengan verbos de estado, y no aparezcan por ningún lado verbos de acción.

TIPO DE PROBLEMA

NIVEL ACADÉMICO

EJEMPLOS

MULTIPLICACIÓN

COMPARACIÓN “EN MÁS”

Problema de multiplicar que expresa la regla de proporción entre ambas cantidades. Dada la cantidad de uno (multiplicando) y las veces que otro la tiene de más (multiplicador), se pregunta por la cantidad resultante (producto) de la misma naturaleza que el multiplicando.

Ciclo IIº-IIIº

4º-5º E. Pri.

9-11 años

“Juan tiene ocho euros. Luisa tiene cuatro veces más dinero que él. ¿Cuánto dinero tiene Luisa?”.

DIVISIÓN PARTITIVA

COMPARACIÓN “EN MÁS”

Dada la cantidad de uno (dividendo) y las veces que otro la tiene de más (divisor), se pregunta por la cantidad resultante (cociente) de la misma naturaleza que el dividendo.

Ciclo IIº-IIIº

4º-5º E. Pri.

9-11 años

“Luisa tiene treinta y dos euros, que es cuatro veces más que el dinero que tiene Juan. ¿Cuántos euros tiene Juan?”.

DIVISIÓN POR AGRUPAMIENTO

COMPARACIÓN “EN MÁS”.

Problema que se resuelve con una división por agrupación, porque el dividendo y el divisor son de la misma naturaleza.

Dadas dos cantidades de la misma naturaleza (dividendo y divisor), se pregunta por el número de veces (cociente) que una es mayor que otra. Es un problema de pura comparación, puesto que no hay nada que se parezca a un reparto.

Ciclo II-III

( 4º-5º E.P. )

9-11 años

“Antonio recibe cada fin de semana 25 euros.  Su primo Daniel 100 euros. ¿Cuántas veces más recibe Daniel que Antonio?”.

MULTIPLICACIÓN

COMPARACIÓN “EN MENOS”

Este problema inconsistente que se resuelve con una multiplicación. Dada la cantidad de uno (multiplicando) y las veces que otro la tiene de menos (multiplicador), se pregunta por la cantidad resultante (producto) de la misma naturaleza que el multiplicando.

Es complicado porque su sentido y vocabulario induce a otras operaciones ( resta o división ).

Ciclo IIIº

5º-6º E. Pri.

10 -11 años

“Aurelio tiene 8 euros. Tiene tres veces menos dinero que Ana. ¿Cuánto dinero tiene Ana? “.

DIVISIÓN PARTITIVA

COMPARACIÓN “EN MENOS”

Problema que se resuelve con una división Partitiva. Dada la cantidad de uno (dividendo) y las veces que otro la tiene de menos (divisor), se pregunta por la cantidad resultante (cociente) de la misma naturaleza que el dividendo.

Ciclo IIIº

5º-6º E. Pri.

10 -11 años

“Ángel tiene treinta y seis euros. Marta tiene cuatro veces menos dinero que Ángel. ¿Cuántos euros tiene Marta?”.

DIVISIÓN POR AGRUPAMIENTO

COMPARACIÓN “EN MENOS”

Problema que se resuelve con una división por agrupación, porque el dividendo y el divisor son de la misma naturaleza. Dadas dos cantidades de la misma naturaleza (dividendo y divisor), se pregunta por el número de veces (cociente) que una es menor que otra.

Ciclo IIIº

5º-6º E. Pri.

10 -11 años

“Mª Carmen tiene cuarenta y cinco euros . Félix tiene nueve euros ¿Cuántas veces menos dinero tiene Félix que Mª Carmen ?”.

2. – Fórmula: Son los que dependen de una fórmula. Por ejemplo los que  ligan velocidad, tiempo y espacio recorrido.

TIPO DE PROBLEMA

NIVEL ACADÉMICO

EJEMPLOS

MULTIPLICACIÓN

FÓRMULA

Equivale a un problema de Multiplicación Razón 3, aunque utiliza conceptos de espacio y tiempo que implican una mayor dificultad.

Ciclo IIIº

5º-6º E. Pri.

10 -11 años

“Un señor recorre cuarenta y cinco Km. en una hora. ¿Cuántos Km. recorrerá en tres horas?”.

DIVISIÓN POR AGRUPAMIENTO

FÓRMULA

Equivale a un problema de División Razón  por agrupamiento, aunque utiliza conceptos de espacio y tiempo que implican una mayor dificultad.

Ciclo IIIº

5º-6º E. Pri.

10 -11 años

“Si caminas a una velocidad de cinco Km. por hora. ¿Cuántas horas tardarás en recorrer veinticinco Km.?”.

DIVISIÓN PARTITIVA

FÓRMULA

Equivale a un problema de División Razón Partición, aunque utiliza conceptos de espacio y tiempo que implican una mayor dificultad.

Ciclo IIIº

5º-6º E. Pri.

10 -11 años

“¿ A qué velocidad irá un coche, si en 5 horas recorre 650 Km?”.

B.3.3. - Categoría de MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN COMBINACIÓN o PRODUCTO CARTESIANO

Esta categoría implica la combinación de dos cantidades determinadas, para formar una tercera que no es igual ni al multiplicando ni al multiplicador. Es el caso del  producto cartesiano, donde se establece la combinación uno a uno de los elementos de los dos factores, con independencia del orden de colocación de los mismos.

Son problemas muy difíciles para los niños. Emplean cantidades simétricas, puesto que ambas juegan el mismo papel. Por ello la multiplicación es conmutativa y tan sólo se presenta un tipo de problemas de dividir.

TIPO DE PROBLEMA

NIVEL ACADÉMICO

EJEMPLOS

MULTIPLICACIÓN COMBINACIÓN

PRODUCTO CARTESIANO 1 (PC 1)

Dadas dos cantidades de distinta naturaleza (multiplicando y multiplicador), se pregunta por el número de combinaciones posibles (producto).

Ciclo IIIº

5º-6º E. Pri.

10 -11 años

“En un baile hay tres chicos y dos chicas. ¿Cuántas parejas distintas se pueden formar?”.

DIVISIÓN COMBINACIÓN O

PRODUCTO CARTESIANO 2 (PC 2) Dada una cantidad (dividendo) y el número de combinaciones (divisor), se pregunta por la otra cantidad que se combina (cociente).

Ciclo IIIº

5º-6º E. Pri.

10 -11 años

“En un baile hay tres chicos y algunas chicas. Se pueden formar seis parejas distintas entre ellos. ¿Cuántas chicas hay en el baile?”.

Fuente:Proyecto de Formación en Centros”. Equipo de Orientación Educativa y Psicopedagógica de Ponferrada

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